Wersja z 2022-02-22
Jak pisać rozwiązania zadań z matematyki i z nauk przyrodniczych (fizyki, chemii, biologii, geografii)
Zasady ogólne w rozwiązaniach i odpowiedziach
- piszemy starannie i estetycznie;
- nigdy nie wracamy wyżej i nie dopisujemy niczego do wcześniejszych rysunków czy danych (wyjątek: niekiedy uzupełniamy tabele tym, co wyliczyliśmy niżej);
- jeśli chcemy dobrze wykorzystać miejsce, umieszczamy strzałki (tzw. węże maturalne), które jasno wskazują, w jakiej kolejności czytać rozwiązanie;
- główna kreska ułamkowa musi znajdować na wysokości środka przestrzeni między dwiema kreskami znaku „=”;
- przedłużenie kreski ułamkowej musi przechodzić przez środek litery x lub górnej części małej litery y;
- kropkę mnożenia możemy pominąć przed nawiasem otwierającym, literą lub znakiem pierwiastka, nigdy przed liczbą.
Technika obliczeń
- nie dzielimy obu stron równania przez ułamki, chyba że z dzielenia zarówno liczników jak i mianowników wychodzą liczby całkowite, np. 2/3 x = 8/9, x = 8/9 : 2/3, x = 4/3;
- nie dzielimy obu stron równania przez pierwiastki, chyba że jest to wykonalne, np. √3 x = √6, x = √6/√3, x = √2;
- jeśli dodajemy ułamki, których mianowniki nie mają wspólnych czynników, to nie sprowadzamy ich do wspólnego mianownika, tylko używamy metody krzyżowej;
– unikamy mnożeń i podnoszenia do potęgi, jeśli to możliwe, najpierw dzielimy (skracamy) i pierwiastkujemy;
- jeśli rozwiązujemy proporcje, nie piszemy, że iloczyn jednej przekątnej równa się iloczynowi drugiej, chyba że niewiadoma występuje w więcej niż jednym miejscu;
- w równaniu kwadratowym unikamy liczenia wyróżnika, o ile nie jest o absolutnie konieczne; w ogóle nie używamy wyróżnika w równaniach zdegenerowanych typu ax^2 + c = 0 oraz typu ax^2 + bx = 0, stosujemy metodę uzupełnień do kwadratu, zwłaszcza dla równań typu ax^2 + 2anx + c = 0, rozkładamy na czynniki równania typu ax^2 ± (a + c)x + c.
Strategia rozwiązania (z wyjątkiem końcowego wyniku)
- stosujemy taki zapis liczb, jaki ułatwi obliczenia, nie przejmując się wymogami dla wyniku końcowego;
- liczymy, posługując się wartościami dokładnymi, jeśli to tylko możliwe;
- najlepiej, zwłaszcza w matematyce, dokonywać obliczeń na ułamkach zwykłych;
- jeśli zaokrąglamy liczby w obliczeniach pośrednich, piszemy więcej cyfr znaczących niż potrzeba w wyniku, najlepiej tyle, ile wyświetla kalkulator;
- w fizyce zasadniczo powinniśmy cały czas pisać jednostki, przy każdej użytej wartości liczbowej;
- ewentualnie wykonujemy działania na samych wartościach i osobno na jednostkach, które wtedy piszemy w nawiasie kwadratowym;
- jeśli wszystkie dane wyrażone są w jednostkach układu SI, działania na jednostkach można pominąć, choć nie jest to zalecane;
- w innych naukach przyrodniczych i w matematyce pisanie jednostek w obliczeniach pośrednich nie jest niezbędne (a w matematyce wręcz niewskazane);
- w praktyce szkolnej operujemy wyłącznie na liczbach rzeczywistych, tj. zakładamy, że liczby zespolone (np. pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych) nie istnieją;
- naszym bezwzględnym obowiązkiem jest wskazanie zakresu określoności wyrażeń, które nie są określone dla wszystkich liczb rzeczywistych (zrobienie tzw. założeń);
- wykluczenia rozwiązujemy ze względu na zmienną, której dotyczą (np. nie piszemy x + 1 > 0, ale x > -1);
- jeśli konieczne jest podanie kilku wykluczeń lub zakresów określoności, łączymy je spójnikiem logicznym „i”;
- możemy nie wskazywać zakresu określoności, jeśli zmienne w wyrażeniu z natury nie mogą przyjąć wykluczonych wartości;
- w szczególności w zadaniach dotyczących prędkości nie musimy podawać, że czas w mianowniku wyrażenia musi być różny od zera;
- w szczególności nie musimy wskazywać, że wartość pod pierwiastkiem musi być nieujemna, jeśli oznacza ona jakąś wielkość fizyczną, która z natury także nie może być ujemna.
Wyrażenia nieokreślone i niemające sensu liczbowego
1. mianownik wyrażeń wymiernych musi być różny od zera (X/Y, Y ≠ 0);
2. wyrażenie pod pierwiastkiem stopnia parzystego musi być nieujemne: sqrt(X), X ≥ 0 (a jeśli pierwiastek jest w mianowniku, to musi być dodatnie; X/sqrt(Y), Y > 0);
3. podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1, a liczba logarytmowana musi być dodatnia (log_a b, a > 0, a ≠ 1, b > 0);
4. podstawa i wykładnik potęgi nie mogą być jednocześnie równe zeru (X^Y, X^2 + Y^2 > 0);
5. dla funkcji tangens (i secans) kąt nie może być równy pi/2 + k pi, a dla funkcji cotangens (i cosecans) nie może być równy k pi, gdzie k należy do liczb całkowitych.
Końcowa postać wyniku - zasady ogólne
- zaokrąglamy dopiero wynik końcowy;
- jeśli nie podano inaczej, zaokrąglenie powinno zawierać 4 cyfry znaczące;
- dwa lub więcej możliwych wartości wyniku łączymy spójnikiem logicznym „lub”.
Końcowa postać wyniku oraz odpowiedź w matematyce
- wartości muszą być dokładne, np. 2,1(6), sqrt(2), pi, chyba że w poleceniu mowa o podaniu przybliżenia lub gdy nie da się podać wartości dokładnej;
- w zadaniach, w których przeliczamy miarę kąta (innego niż 30°, 45°, 60°) na wartości funkcji trygonometrycznych lub odwrotnie, zawsze podajemy przybliżenie;
- istnieje ogólna zasada (nie zawsze przestrzegana), że o ile nie podano inaczej w poleceniu, zapisujemy końcowy wynik w takiej postaci, w jakiej dostaliśmy dane;
- liczby o co najmniej czterech lub pięciu cyfrach znaczących najlepiej podać w notacji wykładniczej (a· 10^n);
- wynik może zawierać potęgi o dowolnej podstawie, jeśli przedstawia liczbę o co najmniej czterech cyfrach znaczących (np. możemy zostawić 3^7 zamiast pisać 2187);
- jeśli w danych otrzymaliśmy wartości liczbowe z jednostkami, naszym obowiązkiem jest podać jednostki w wyniku końcowym;
- jeśli to możliwe, unikamy pisania znaku wartości bezwzględnej (ale może on być konieczny w wyrażeniach algebraicznych);
- litery wewnątrz jednomianów porządkujemy alfabetycznie;
- wielomiany porządkujemy według stopni wyrazów, najczęściej malejąco, niekiedy jednak rosnąco;
- wyrazy tego samego stopnia sortujemy alfabetycznie tak, jakby były zapisane wyłącznie literami (np. x^2 liczymy jako xx);
- istnieje nieobowiązkowa zasada wyłączania wspólnych czynników przed nawias, przy czym nie dotyczy ona wielomianów;
- jeśli nie przeciwstawia się to regułom porządkowania wielomianów, to zamiast -a + b piszemy na ogół b - a;
- zamiast -(a - b) także piszemy b - a;
- o ile nie zaznaczono inaczej w poleceniu, wynik podajemy w ułamku zwykłym nieskracalnym (ułamki muszą być skrócone do ilorazu liczb względnie pierwszych);
- w mianowniku ułamka powinna znaleźć się liczba naturalna większa od 1, może też znaleźć się pi lub inna liczba, której nie możemy z mianownika usunąć;
- unikamy ułamków piętrowych (licznik licznika oraz mianownik mianownika stanowią licznik, mianownik licznika oraz licznik mianownika stanowią mianownik);
- ewentualny minus z mianownika przenosimy przed ułamek;
- minus z licznika także przenosimy przed ułamek;
- jeśli i w liczniku, i w mianowniku występuje minus, opuszczamy obydwa te minusy jednocześnie;
- jeśli wynik mamy przedstawić na osi liczbowej, a także w niektórych innych wypadkach, obok ułamka niewłaściwego podajemy jego przeliczenie na liczbę mieszaną, np. 17/16 = 1 1/16;
- usuwamy z mianownika niewymierności w postaci pierwiastków, ich sum, różnic, itd.;
- wyciągamy liczby spod pierwiastka, o ile to możliwe (np. zamiast sqrt(8) piszemy 2 sqrt(2));
- wyrażenia a + b sqrt(c) możemy zapisywać także w formie b sqrt(c) + a; ta druga postać jest lepsza, gdy b sqrt(c) > a.
Końcowa postać wyniku oraz odpowiedź w naukach przyrodniczych
- wartości podajemy w postaci ułamka dziesiętnego (nieokresowego), np. 2,167 zamiast 2 1/6 lub zamiast 2,1(6), 6,28 zamiast 2 pi;
- czasem dopuszcza się ułamki o niewielkich mianownikach, np. 1/2, 2/3;
- w fizyce powinniśmy stosować układ SI i unikać przedrostków (chyba że były w danych), np. lepiej podać 3 600 000 J lub 3,6 · 10^6 J niż 3,6 kJ;
- w chemii używamy na ogół następujących jednostek: cm3 (ciała stałe, ciecze) lub dm3 (czasem L lub l = litr), g (nie kg), hPa (nie Pa), u (jednostka masy atomowej).
x^2 + 2x + 1 (−1, −1)
x^2 − 4x + 4 (2, 2)
9 − 4x^2 (−3/2, 3/2)
1 + 6x + 12x^2 + 8x^3 (−1/2, −1/2, −1/2)
8x^3 − 36x^2 + 54x − 27 (3/2, 3/2, 3/2)
x^3 − 8 (2)
8x^3 + 1 (1/2)
x^3 + 2x^2 (−2, 0, 0)
3x^4 + 2x^2 (0, 0)
8x^2 − 18 (−3/2, 3/2)
6x^3 − 12x^2 + 6x (0, 1, 1)
x^2 + x + 5 (zespolone)
4x^2 − 12x + 9 (3/2, 3/2)
x^2 − 5x + 6 (2, 3)
3x^3 − 6x^2 + 4x − 8 (2)
5x^3 − 4x^2 − 5x + 4 (−1, 4/5, 1)
4x^3 + 4x^2 − x − 1 (−1, −1/2, 1/2)
−9x^3 − 18x^2 + x + 2 (−2, −1/3, 1/3)
−3x^3 − 4x^2 + 12x + 16 (−2, −4/3, 2)
20x^3 + 12x^2 − 45x − 27 (−3/2, −3/5, 3/2)
16x^3 + 16x^2 − 4x − 4 (−1, −1/2, 1/2)
18x^3 + 9x^2 − 18x − 9 (−1, −1/2, 1)
3x^3 − 7x^2 − 27x + 63 (−3, 7/3, 3)
10x^3 + 15x^2 + 8x + 12 (−3/2)
−4x^3 + 2x^2 − 6x + 3 (1/2)
−12x^3 − 32x^2 + 3x + 8 (−8/3, −1/2, 1/2)
8x^4 + 24x^3 + x + 3 (−3, −1/2)
x^4 − x^3 − 27x + 27 (1, 3)
125x^4 − 125x^3 − 8x + 8 (2/5, 1)
2x^5 + 3x^4 − 2x − 3 (−3/2, −1, 1)
2x^5 + 3x^3 − 16x^2 − 24 (2)
x^5 − x^3 − 125x^2 + 125 (−1, 1, 5)
3x^2 − 2x − 5 (−1, 5/3)
−15x^2 − 14x + 1 (−1, 1/15)
x^2 − 4x + 3 (1, 3)
x^3 − 3x + 2 (−2, 1, 1)
x^3 − 7x + 6 (−3, 1, 2)
x^3 − 4x + 3 (1, (−1 − √13)/2, (−1 + √13)/2)
x^3 + 4x − 5 (1)
x^3 − 13x − 12 (−3, −1, 4)
x^3 + 3x + 4 (−1)
x^3 + 3x^2 − 4 (−2, −2, 1)
x^3 − 5x^2 + 4 (1, 2 − 2√2, 2 + 2√2)
x^3 − 4x^2 + 3 (1, (3 − √21)/2, (3 + √21)/2)
x^3 + x^2 − 2 (1)
2x^3 − 7x^2 + 9 (−1, 3/2, 3)
x^3 − x^2 + 2 (−1)
x^4 − 5x − 6 (−1, 2)
x^4 + 4x + 3 (−1, −1)
x^4 − 4x + 3 (1, 1)
x^4 + 5x − 6 (−2, 1)
x^4 − 4x^2 − 5 (−√5, √5)
x^4 − 4x^2 + 3 (−1, 1, −√3, √3)
x^4 + 4x^2 − 5 (−1, 1)
x^4 − 6x^2 + 5x (0, 1, (−1 + √21)/2, (−1 − √21)/2)
x^4 − 1 (−1, 1)
(x^3 − 5)^2 − 36 (−1)
(x^2 + 2x)^2 − x^2 (−3, −1, 0, 0)
x^4 + 1 (zespolone)
(x^2 + x)^4 − 1 ((−1 − √5)/2, (−1 + √5)/2)
3(x^2 − 4x) − (x^2 − 4x)^2 + 10 (−1, 5, 2 − √2, 2 + √2)
x^3 − 9x^2 + x − 9 (9)
4x^3 − 8x^2 − x + 2 (−1/2, 1/2, 2)
5x^3 − 15x^2 − 5x + 15 (−1, 1, 3)
4x^3 − 13x^2 − 13x + 4 (−1, 1/4, 4)
5x^5 + 4x^4 − 5x − 4 (−1, −4/5, 1)
(2x − 1)(x^2 − 1) − 6(x + 1) (−1, −1, 5/2)
x^3 − 9x^2 + 23x − 15 (1, 3, 5)
2√2x^3 − 6√3x^2 + 9√2x − 3√3 (√(3/2), √(3/2), √(3/2))
(4 − x)(x + 5)(2x − 3) (−5, 3/2, 4)
x^2(x^2 − 4) (−2, 0, 0, 2)
(16 − x^2)(8x^3 + 1)(x^2 + 2x + 6) (−4, −1/2, 4)
x^3 − 5x^2 + 4x (0, 1, 4)
x^3 + x^2(1 − √2) + x(8 − √2) − 8√2 (√2)
Niektóre równania wielomianowe (stopnia 2. lub wyższego), w których mamy 3 wyrazy, w tym wolny, udaje się rozwiązać bez wykonywania dzielenia. Chodzi o równania typu ax^n + bx^m + c, gdzie m < n, a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Metoda polega na przedstawieniu środkowego wyrazu w postaci sumy lub różnicy tak, że powstają 4 wyrazy, które udaje się pogrupować.
1. Suma współczynników skrajnych a i c jest równa środkowemu b.
a) równanie stopnia 2:
x^2 + 2x + 1 = 0
x^2 + x + x + 1 = 0
x(x + 1) + (x + 1) = 0
(x + 1)(x + 1) = 0
x = −1
To samo równanie da się rozwiązać, korzystając z wzoru skróconego mnożenia.
3x^2 − 2x − 5 = 0
3x^2 + 3x − 5x − 5 = 0
3x(x + 1) − 5(x + 1) = 0
(3x − 5)(x + 1) = 0
3x − 5 = 0 lub x + 1 = 0
x = 5/3 lub x = −1
−15x^2 − 14x + 1 = 0
−15x^2 − 15x + x + 1 = 0
−15x(x + 1) + (x + 1) = 0
(−15x + 1)(x + 1) = 0
−15x + 1 = 0 lub x + 1 = 0
x = 1/15 lub x = −1
b) równanie stopnia 4, wyraz środkowy stopnia 1:
x^4 − 5x − 6 = 0
x^4 + x − 6x − 6 = 0
x(x^3 + 1) − 6(x + 1) = 0
x(x^2 − x + 1)(x + 1) − 6(x + 1) = 0
[x(x^2 − x + 1) − 6](x + 1) = 0
(x^3 − x^2 + x − 6)(x + 1) = 0
rozkład pierwszego czynnika wymaga dzielenia przez (x − 2) lub dużej spostrzegawczości:
(x^3 − 2x^2 + x^2 − 2x + 3x − 6)(x + 1) = 0
[x^2(x − 2) + x(x − 2) + 3(x − 2)](x + 1) = 0
(x^2 + x + 3)(x − 2)(x + 1) = 0
x = 2 lub x = −1 (z pierwszego czynnika nie otrzymamy pierwiastków rzeczywistych)
x^4 + 4x + 3 = 0
x^4 + x + 3x + 3 = 0
x(x^3 + 1) + 3(x + 1) = 0
x(x^2 − x + 1)(x + 1) + 3(x + 1) = 0
(x^3 − x^2 + x)(x + 1) + 3(x + 1) = 0
(x^3 − x^2 + x + 3)(x + 1) = 0
rozkład pierwszego czynnika wymaga dzielenia przez (x + 1) lub dużej spostrzegawczości:
(x^3 + x^2 − 2x^2 + x + 3)(x + 1) = 0
(x^3 + x^2 − 2x^2 − 2x + 2x + x + 3)(x + 1) = 0
(x^3 + x^2 − 2x^2 − 2x + 3x + 3)(x + 1) = 0
[x^2(x + 1) − 2x(x + 1) + 3(x + 1)](x + 1) = 0
(x^2 − 2x + 3)(x + 1)(x + 1) = 0
x = −1 (z pierwszego czynnika nie otrzymamy pierwiastków rzeczywistych)
c) równanie stopnia 4, wyraz środkowy stopnia 2 (dwukwadratowe):
x^4 − 4x^2 − 5 = 0
x^4 − 5x^2 + x^2 − 5 = 0
x^2(x^2 − 5) + (x^2 − 5) = 0
(x^2 + 1)(x^2 − 5) = 0
(x^2 + 1)(x − √5)(x + √5) = 0
x = √5 lub x = −√5 (z pierwszego czynnika nie otrzymamy pierwiastków rzeczywistych)
2. Suma współczynników skrajnych a i c jest równa liczbie przeciwnej do b.
a) równanie stopnia 2:
x^2 − 2x + 1 = 0
x^2 − x − x + 1 = 0
x(x − 1) − (x − 1) = 0
(x − 1)(x − 1) = 0
x = 1
To samo równanie da się rozwiązać, korzystając z wzoru skróconego mnożenia.
x^2 − 4x + 3 = 0
x^2 − x − 3x + 3 = 0
x(x − 1) − 3(x − 1) = 0
(x − 3)(x − 1) = 0
x = 3 lub x = 1
b) równanie stopnia 3, wyraz środkowy stopnia 1:
x^3 − 3x + 2 = 0
x^3 − x − 2x + 2 = 0
x(x^2 − 1) − 2(x − 1) = 0
x(x − 1)(x + 1) − 2(x − 1) = 0
[x(x + 1) − 2](x − 1) = 0
(x^2 + x − 2)(x − 1) = 0
(4x^2 + 4x − 8)(x − 1) = 0
(4x^2 + 4x + 1 − 9)(x − 1) = 0
[(2x + 1)^2 − 9](x − 1) = 0
(2x + 1 − 3)(2x + 1 + 3)(x − 1) = 0
(2x − 2)(2x + 4)(x − 1) = 0
(x − 1)(x + 2)(x − 1) = 0
(x + 2)(x − 1)^2 = 0
x = −2 lub x = 1
x^3 − 7x + 6 = 0
x^3 − x − 6x + 6 = 0
x(x^2 − 1) − 6(x − 1) = 0
x(x + 1)(x − 1) − 6(x − 1) = 0
[x(x + 1) − 6](x − 1) = 0
(x^2 + x − 6)(x − 1) = 0
(4x^2 + 4x − 24)(x − 1) = 0
(4x^2 + 4x + 1 − 25)(x − 1) = 0
[(2x + 1)^2 − 25](x − 1) = 0
(2x + 1 − 5)(2x + 1 + 5)(x − 1) = 0
(2x − 4)(2x + 6)(x − 1) = 0
(x − 2)(x + 3)(x − 1) = 0
x = 2 lub x = −3 lub x = 1
x^3 − 4x + 3 = 0
x^3 − x − 3x − 3 = 0
x(x^2 − 1) − 3(x + 1) = 0
x(x − 1)(x + 1) − 3(x + 1) = 0
[x(x − 1) − 3](x + 1) = 0
(x^2 − x − 3)(x + 1) = 0
(4x^2 − 4x − 12)(x + 1) = 0
(4x^2 − 4x + 1 − 13)(x + 1) = 0
[(2x − 1)^2 − 13](x + 1) = 0
(2x − 1 − √13)(2x − 1 + √13)(x + 1) = 0
x = (1 + √13)/2 lub x = (1 − √13)/2 lub x = −1
x^3 + 4x − 5 = 0
x^3 − x + 5x − 5 = 0
x(x^2 − 1) + 5(x − 1) = 0
x(x + 1)(x − 1) + 5(x − 1) = 0
(x^2 + x)(x − 1) + 5(x − 1) = 0
(x^2 + x + 5)(x − 1) = 0
x = 1 (z pierwszego czynnika nie otrzymamy pierwiastków rzeczywistych)
x^4 − 6x^2 + 5x = 0 (równanie 3. stopnia po wyłączeniu x przed nawias!)
x(x^3 − 6x + 5) = 0
x(x^3 − x − 5x + 5) = 0
x[x(x^2 − 1) − 5(x − 1)] = 0
x[x(x + 1)(x − 1) − 5(x − 1)] = 0
x[(x^2 + x)(x − 1) − 5(x − 1)] = 0
x(x^2 + x − 5)(x − 1) = 0
x(4x^2 + 4x − 20)(x − 1) = 0
x(4x^2 + 4x + 1 − 21)(x − 1) = 0
x[(2x + 1)^2 − 21](x − 1) = 0
x(2x + 1 − √21)(2x + 1 + √21)(x − 1) = 0
x = 0 lub x = (−1 + √21)/2 lub x = (−1 − √21)/2 lub x = 1
c) równanie stopnia 3, wyraz środkowy stopnia 2:
x^3 + 3x^2 − 4 = 0
x^3 − x^2 + 4x^2 − 4 = 0
x^2(x − 1) + 4(x − 1)(x + 1) = 0
x^2(x − 1) + (4x + 4)(x − 1) = 0
(x^2 + 4x + 4)(x − 1) = 0
(x − 1)(x + 2)^2 = 0
x = 1 lub x = −2
x^3 − 5x^2 + 4 = 0
x^3 − x^2 − 4x^2 + 4 = 0
x^2(x − 1) − 4(x^2 − 1) = 0
x^2(x − 1) − 4(x + 1)(x − 1) = 0
x^2(x − 1) − (4x + 4)(x − 1) = 0
(x^2 − 4x − 4)(x − 1) = 0
(x^2 − 4x + 4 − 4 − 4)(x − 1) = 0
[(x − 2)^2 − 8)(x − 1) = 0
(x − 2 − 2√2)(x − 2 + 2√2)(x − 1) = 0
x = 2 + 2√2 lub x = 2 − 2√2 lub x = 1
x^3 − 4x^2 + 3 = 0
x^3 − x^2 − 3x^2 + 3 = 0
x^2(x − 1) − 3(x^2 − 1) = 0
x^2(x − 1) − 3(x − 1)(x + 1) = 0
[x^2 − 3(x + 1)](x − 1) = 0
(x^2 − 3x − 3)(x − 1) = 0
(4x^2 − 12x − 12)(x − 1) = 0
(4x^2 − 12x + 9 − 9 − 12)(x − 1) = 0
[(2x − 3)^2 − 21](x − 1) = 0
(2x − 3 − √21)(2x − 3 + √21)(x − 1) = 0
x = (3 + √21)/2 lub x = (3 − √21)/2 lub x = 1
x^3 + x^2 − 2 = 0
x^3 − x^2 + 2x^2 − 2 = 0
x^2(x − 1) + 2(x^2 − 1) = 0
x^2(x − 1) + 2(x + 1)(x − 1) = 0
x^2(x − 1) + (2x + 2)(x − 1) = 0
(x^2 + 2x + 2)(x − 1) = 0
x = 1 (z pierwszego czynnika nie otrzymamy pierwiastków rzeczywistych)
d) równanie stopnia 4, wyraz środkowy stopnia 1
x^4 − 4x + 3 = 0
x^4 − x − 3x + 3 = 0
x(x^3 − 1) − 3(x − 1) = 0
x(x^2 + x + 1)(x − 1) − 3(x − 1) = 0
(x^3 + x^2 + x)(x − 1) − 3(x − 1) = 0
(x^3 + x^2 + x − 3)(x − 1) = 0
rozkład pierwszego czynnika wymaga dzielenia przez (x − 1) lub dużej spostrzegawczości:
(x^3 − x^2 + 2x^2 − 2x + 3x − 3)(x − 1) = 0
[x^2(x − 1) + 2x(x − 1) + 3(x − 1)](x − 1) = 0
(x^2 + 2x + 3)(x − 1)^2 = 0
x = 1 (z pierwszego czynnika nie otrzymamy pierwiastków rzeczywistych)
x^4 + 5x − 6 = 0
x^4 − x + 6x − 6 = 0
x(x^3 − 1) + 6(x − 1) = 0
x(x^2 + x + 1)(x − 1) + 6(x − 1) = 0
(x^3 + x^2 + x)(x − 1) + 6(x − 1) = 0
(x^3 + x^2 + x + 6)(x − 1) = 0
rozkład pierwszego czynnika wymaga dzielenia przez (x + 2) lub dużej spostrzegawczości:
(x^3 + x^2 − 2x + 3x + 6)(x − 1) = 0
(x^3 + 2x^2 − x^2 − 2x + 3x + 6)(x − 1) = 0
[x^2(x + 2) − x(x + 2) + 3(x + 2)](x − 1) = 0
(x^2 − x + 3)(x + 2)(x − 1) = 0
x = −2 lub x = 1 (z pierwszego czynnika nie otrzymamy pierwiastków rzeczywistych)
e) równanie stopnia 4, wyraz środkowy stopnia 2 (dwukwadratowe):
x^4 − 4x^2 + 3 = 0
x^4 − x^2 − 3x^2 + 3 = 0
x^2(x^2 − 1) − 3(x^2 − 1) = 0
(x^2 − 3)(x^2 − 1) = 0
(x − 3)(x + 3)(x − 1)(x + 1) = 0
x = 3 lub x = −3 lub x = 1 lub x = −1
x^4 + 4x^2 − 5 = 0
x^4 + 5x^2 − x^2 − 5 = 0
x^2(x^2 + 5) + (x^2 + 5) = 0
(x^2 − 1)(x^2 + 5) = 0
(x^2 + 5)(x − 1)(x + 1) = 0
x = 1 lub x = −1 (z pierwszego czynnika nie otrzymamy pierwiastków rzeczywistych)
3. Różnica ostatniego i pierwszego współczynnika (c − a) jest równa współczynnikowi środkowemu (b).
równanie stopnia 3, wyraz środkowy stopnia 1:
x^3 − 13x − 12 = 0
x^3 − x − 12x − 12 = 0
x(x^2 − 1) − 12(x + 1) = 0
x(x − 1)(x + 1) − 12(x + 1) = 0
(x^2 − x)(x + 1) − 12(x + 1) = 0
(x^2 − x − 12)(x + 1) = 0
(4x^2 − 4x − 48)(x + 1) = 0
(4x^2 − 4x + 1 − 49)(x + 1) = 0
[(2x − 1)^2 − 49](x + 1) = 0
(2x − 1 − 7)(2x − 1 + 7)(x + 1) = 0
(2x − 8)(2x + 6)(x + 1) = 0
(x − 4)(x + 3)(x + 1) = 0
x = 4 lub x = −3 lub x = −1
x^3 + 3x + 4 = 0
x^3 − x + 4x + 4 = 0
x(x^2 − 1) + 4(x + 1) = 0
x(x − 1)(x + 1) + 4(x + 1) = 0
(x^2 − x)(x + 1) + 4(x + 1) = 0
(x^2 − x + 4)(x + 1) = 0
x = −1 (z pierwszego czynnika nie otrzymamy pierwiastków rzeczywistych)
4. Różnica pierwszego i ostatniego współczynnika (a − c) jest równa współczynnikowi środkowemu (b).
równanie stopnia 3, wyraz środkowy stopnia 2:
2x^3 − 7x^2 + 9 = 0
2x^3 + 2x^2 − 9x^2 + 9 = 0
2x^2(x + 1) − 9(x^2 − 1) = 0
2x^2(x + 1) − 9(x − 1)(x + 1) = 0
2x^2(x + 1) − (9x − 9)(x + 1) = 0
(2x^2 − 9x + 9)(x + 1) = 0
(16x^2 − 72x + 72)(x + 1) = 0
(16x^2 − 72x + 81 − 81 + 72)(x + 1) = 0
[(4x − 9)^2 − 9](x + 1) = 0
(4x − 9 − 3)(4x − 9 + 3)(x + 1) = 0
(4x − 12)(4x − 6)(x + 1) = 0
(x − 3)(2x − 3)(x + 1) = 0
x = 3 lub x = 3/2 lub x = −1
x^3 − x^2 + 2 = 0
x^3 + x^2 − 2x^2 + 2 = 0
x^2(x + 1) − 2(x^2 − 1) = 0
x^2(x + 1) − 2(x − 1)(x + 1) = 0
x^2(x + 1) − (2x − 2)(x + 1) = 0
(x^2 − 2x + 2)(x + 1) = 0
x = −1 (z pierwszego czynnika nie otrzymamy pierwiastków rzeczywistych)
5. Współczynnik przy wyrazie środkowym da się przedstawić w postaci sumy dwóch liczb, których iloczyn jest taki sam, jak iloczyn współczynników przy wyrazach skrajnych.
równanie stopnia 2
x^2 − 4x + 4 = 0
Przedstawiamy b = −4 jako −2 − 2, ponieważ iloczyn tych liczb (−2)·(−2) = 4 jest taki sam, jak iloczyn ac = 1·4 = 4.
x^2 − 2x − 2x + 4 = 0
x(x − 2) - 2(x − 2) = 0
(x − 2)(x − 2) = 0
x = 2
To samo równanie da się rozwiązać, korzystając z wzoru skróconego mnożenia.
4x^2 − 12x + 9 = 0
Przedstawiamy b = −12 jako −6 − 6, ponieważ iloczyn tych liczb (−6)·(−6) = 36 jest taki sam, jak iloczyn ac = 4·9 = 36.
4x^2 − 6x − 6x + 9 = 0
2x(2x − 3) − 3(2x − 3) = 0
(2x − 3)(2x − 3) = 0
x = 3/2
To samo równanie da się rozwiązać, korzystając z wzoru skróconego mnożenia.
x^2 − 5x + 6 = 0
Przedstawiamy b = −5 jako −2 − 3, ponieważ iloczyn tych liczb (−2)·(−3) = 6 jest taki sam, jak iloczyn ac = 1·6 = 6.
x^2 − 2x − 3x + 6 = 0
x(x − 2) − 3(x − 2) = 0
(x − 2)(x − 3) = 0
x = 2 lub x = 3
x^2 − x − 6 = 0
Przedstawiamy b = −1 jako 2 − 3, ponieważ iloczyn tych liczb 2·(−3) = −6 jest taki sam, jak iloczyn ac = 1·(−6) = −6.
x^2 + 2x − 3x − 6 = 0
x(x + 2) − 3(x + 2) = 0
(x − 3)(x + 2) = 0
x = 3 lub x = −2
Zobacz też: