Wersja z 2025-11-27

Część poprzednia Spis treści Część następna

Grzegorz Jagodziński

Liczby magiczne

W szkole podstawowej uczymy się tabliczki mnożenia. W dalszej nauce matematyki warto rozszerzyć pamięciową znajomość niektórych innych ciekawych liczb naturalnych. W tym zestawieniu liczby te są nazwane magicznymi. Są to niewielkie potęgi (kwadraty, sześciany, itd.) kolejnych liczb naturalnych większych od `1` (np. `2^2, 3^2, 4^2, …`), kolejne potęgi niewielkich liczb naturalnych (np. `3^2, 3^3, 3^4, …`), a także ich silnie. Dodatkowo (w osobnej tabeli) zebrano bisilnie, o których niżej, i iloczyny liczb pierwszych większych od 5. W poniższych zestawieniach podajemy wszystkie takie liczby jedno-, dwu- i trzycyfrowe, i zakończymy na liczbie `2^10 = 1024` lub na pierwszej liczbie większej od `1000`.

Silnią liczby `n`, oznaczaną `n!`, nazywamy iloczyn liczb naturalnych od `1` do `n`. Możemy zatem zapisać: `n! = 1 * 2 * 3 * … * n`. W obliczeniach praktycznych dobrze jest zacząć od największej liczby, co jest bez różnicy, bo mnożenie jest przemienne: `n! = n * (n - 1) * (n - 2) * … * 2 * 1`. A jeśli ktoś nie boi się bardziej zaawansowanych zapisów, może też przyjąć, że `n! = prod_(k = 1)^n k`, gdzie `n ge 1`. Przyjmujemy dodatkowo, że `0! = 1`.

Bisilnią lub silnią podwójną liczby `n`, oznaczaną `n!!`, nazywamy iloczyn liczb naturalnych dodatnich z krokiem `2`: `n!! = n * (n - 2) * (n - 4) * …`, przy czym ostatnią mnożoną liczbą jest `2` (dla `n` parzystych) lub `1` (dla `n` nieparzystych). Np. `5!! = 5 * 3 * 1 = 15`, `8!! = 8 * 6 * 4 * 2 = 384`.

Zestawienie 1

`n`   `n^2` `n^3` `n^4` `n^5` `n^6` `n^7` `n^8`   `2^n` `3^n` `4^n` `5^n`   `n!`
4   `2^2`               `2^2`          
6                             `3!`
8     `2^3`             `2^3`          
9   `3^2`                 `3^2`        
16   `4^2`   `2^4`           `2^4`   `4^2`      
24                             `4!`
25   `5^2`                     `5^2`    
27     `3^3`               `3^3`        
32         `2^5`         `2^5`          
36   `6^2`                          
49   `7^2`                          
64   `8^2` `4^3`     `2^6`       `2^6`   `4^3`      
81   `9^2`   `3^4`             `3^4`        
100   `10^2`                          
120                             `5!`
121   `11^2`                          
125     `5^3`                   `5^3`    
128             `2^7`     `2^7`          
144   `12^2`                          
169   `13^2`                          
196   `14^2`                          
216     `6^3`                        
225   `15^2`                          
243         `3^5`           `3^5`        
256   `16^2`   `4^4`       `2^8`   `2^8`   `4^4`      
289   `17^2`                          
324   `18^2`                          
343     `7^3`                        
361   `19^2`                          
400   `20^2`                          
441   `21^2`                          
484   `22^2`                          
512     `8^3`             `2^9`          
529   `23^2`                          
576   `24^2`                          
625   `25^2`   `5^4`                 `5^4`    
676   `26^2`                          
720                             `6!`
729   `27^2` `9^3`     `3^6`         `3^6`        
784   `28^2`                          
841   `29^2`                          
900   `30^2`                          
961   `31^2`                          
1000     `10^3`                        
1024   `32^2`     `4^5`         `2^10`   `4^5`      
`n`   `n^2` `n^3` `n^4` `n^5` `n^6` `n^7` `n^8`   `2^n` `3^n` `4^n` `5^n`   `n!`
1296   `36^2`   `6^4`                      
1331     `11^3`                        
2048                   `2^11`          
2187             `3^7`       `3^7`        
2401   `49^2`   `7^4`                      
3125         `5^5`               `5^5`    
4096   `64^2` `16^3` `8^4`   `4^6`       `2^12`   `4^6`      
6561   `81^2`   `9^4`       `3^8`     `3^8`        

Kwadraty

Nagłówki wierszy to cyfry dziesiątek, nagłówki kolumn to cyfry jedności

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
1 100 121 144 169 196 225 264 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521

Sześciany

Nagłówki wierszy to cyfry dziesiątek, nagłówki kolumn to cyfry jedności

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729
1 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859

Czwarte potęgi

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561
 

Piąte potęgi

0 1 2 3 4 5
0 1 32 243 1024 3125
 

Szóste potęgi

0 1 2 3 4
0 1 64 729 4096
 

Siódme potęgi

0 1 2 3
0 1 128 2187
 

Ósme potęgi

0 1 2 3
0 1 256 6561

Potęgi 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096
 

Potęgi 3

0 1 2 3 4 5 6 7
1 3 9 27 81 243 729 2187
 

Potęgi 4

0 1 2 3 4 5 6
1 4 16 64 256 1024 4096
 

Potęgi 5

0 1 2 3 4 5
1 5 25 125 625 3125

Potęgi 6-9

`n` 0 1 2 3 4
`6^n` 1 6 36 216 1296
`7^n` 1 7 49 343 2401
`8^n` 1 8 64 512 4096
`9^n` 1 9 81 729 6561

Zestawienie 2

Zestawienie obejmuje: tabliczkę mnożenia do `12*12`, iloczyny liczb `15`, `16`, `25` i `75` przez liczby od `1` do `12`, potęgi od drugiej do piątej (do pierwszej wartości przekraczającej `1000`).

    mnożenie   potęgowanie   `n!`
2   `1*2`                                         `2!`
3     `1*3`                                        
4   `2*2`   `1*4`                           `2^2`          
5         `1*5`                                    
6   `3*2` `2*3`     `1*6`                                 `3!`
7             `1*7`                                
8   `4*2`   `2*4`       `1*8`                     `2^3`        
9     `3*3`           `1*9`                 `3^2`          
10   `5*2`     `2*5`         `1*10`                          
11                     `1*11`                        
12   `6*2` `4*3` `3*4`   `2*6`           `1*12`                      
14   `7*2`         `2*7`                                
15     `5*3`   `3*5`               `1*15`                    
16   `8*2`   `4*4`       `2*8`           `1*16`       `4^2`   `2^4`      
18   `9*2` `6*3`     `3*6`     `2*9`                            
20   `10*2`   `5*4` `4*5`         `2*10`                          
21     `7*3`       `3*7`                                
22   `11*2`                 `2*11`                        
24   `12*2` `8*3` `6*4`   `4*6`   `3*8`       `2*12`                     `4!`
25         `5*5`                   `1*25`     `5^2`          
27     `9*3`           `3*9`                   `3^3`        
28   `14*2`   `7*4`     `4*7`                                
30   `15*2` `10*3`   `6*5` `5*6`       `3*10`     `2*15`                    
32   `16*2`   `8*4`       `4*8`           `2*16`             `2^5`    
33     `11*3`               `3*11`                        
35         `7*5`   `5*7`                                
36   `18*2` `12*3` `9*4`   `6*6`     `4*9`     `3*12`           `6^2`          
40   `20*2`   `10*4` `8*5`     `5*8`   `4*10`                          
42   `21*2`       `7*6` `6*7`                                
44   `22*2`   `11*4`             `4*11`                        
45     `15*3`   `9*5`       `5*9`       `3*15`                    
48   `24*2` `16*3` `12*4`   `8*6`   `6*8`       `4*12`   `3*16`                  
49             `7*7`                     `7^2`          
50   `25*2`     `10*5`         `5*10`         `2*25`                
54   `27*2` `18*3`     `9*6`     `6*9`                            
55         `11*5`           `5*11`                        
56   `28*2`   `14*4`     `8*7` `7*8`                              
60   `30*2` `20*3` `15*4` `12*5` `10*6`       `6*10`   `5*12` `4*15`                    
63     `21*3`       `9*7`   `7*9`                            
64   `32*2`   `16*4`       `8*8`           `4*16`       `8^2` `4^3`   `2^6`    
66   `33*2` `22*3`     `11*6`         `6*11`                        
70   `35*2`     `14*5`   `10*7`     `7*10`                          
72   `36*2` `24*3` `18*4`   `12*6`   `9*8` `8*9`     `6*12`                      
75     `25*3`   `15*5`               `5*15`   `3*25` `1*75`              
77             `11*7`       `7*11`                        
80   `40*2`   `20*4` `16*5`     `10*8`   `8*10`       `5*16`                  
81     `27*3`           `9*9`                 `9^2`   `3^4`      
84   `42*2` `28*3` `21*4`   `14*6` `12*7`         `7*12`                      
88   `44*2`   `22*4`       `11*8`     `8*11`                        
90   `45*2` `30*3`   `18*5` `15*6`     `10*9` `9*10`     `6*15`                    
96   `48*2` `32*3` `24*4`   `16*6`   `12*8`       `8*12`   `6*16`                  
99     `33*3`           `11*9`   `9*11`                        
100   `50*2`   `25*4` `20*5`         `10*10`         `4*25`     `10^2`          
105     `35*3`   `21*5`   `15*7`           `7*15`                    
108   `54*2` `36*3` `27*4`   `18*6`     `12*9`     `9*12`                      
110   `55*2`     `22*5`         `11*10` `10*11`                        
112   `56*2`   `28*4`     `16*7` `14*8`           `7*16`                  
120   `60*2` `40*3` `30*4` `24*5` `20*6`   `15*8`   `12*10`   `10*12` `8*15`                   `5!`
121                     `11*11`             `11^2`          
125         `25*5`                   `5*25`       `5^3`        
128   `64*2`   `32*4`       `16*8`           `8*16`             `2^7`    
132   `66*2` `44*3` `33*4`   `22*6`         `12*11` `11*12`                      
135     `45*3`   `27*5`       `15*9`       `9*15`                    
144   `72*2` `48*3` `36*4`   `24*6`   `18*8` `16*9`     `12*12`   `9*16`       `12^2`          
150   `75*2` `50*3`   `30*5` `25*6`       `15*10`     `10*15`   `6*25` `2*75`              
160   `80*2`   `40*4` `32*5`     `20*8`   `16*10`       `10*16`                  
165     `55*3`   `33*5`           `15*11`   `11*15`                    
169                                   `13^2`          
175         `35*5`   `25*7`               `7*25`                
176   `88*2`   `44*4`       `22*8`     `16*11`     `11*16`                  
180   `90*2` `60*3` `45*4` `36*5` `30*6`     `20*9` `18*10`   `15*12` `12*15`                    
192   `96*2` `64*3` `48*4`   `32*6`   `24*8`       `16*12`   `12*16`                  
196   `98*2`   `49*4`     `28*7`                     `14^2`          
200   `100*2`   `50*4` `40*5`     `25*8`   `20*10`         `8*25`                
216   `108*2` `72*3` `54*4`   `36*6`   `27*8` `24*9`     `18*12`             `6^3`        
225     `75*3`   `45*5`       `25*9`       `15*15`   `9*25` `3*75`   `15^2`          
243     `81*3`           `27*9`                       `3^5`    
250   `125*2`     `50*5`         `25*10`         `10*25`                
256   `128*2`   `64*4`       `32*8`           `16*16`       `16^2`   `4^4` `2^8`    
275         `55*5`           `25*11`       `11*25`                
289                                   `17^2`          
300   `150*2` `100*3` `75*4` `60*5` `50*6`       `30*10`   `25*12` `20*15`   `12*25` `4*75`              
324   `162*2` `108*3` `81*4`   `54*6`     `36*9`     `27*12`           `18^2`          
343             `49*7`                       `7^3`        
361                                   `19^2`          
375     `125*3`   `75*5`               `25*15`   `15*25` `5*75`              
400   `200*2`   `100*4` `80*5`     `50*8`   `40*10`       `25*16` `16*25`     `20^2`          
441     `147*3`       `63*7`   `49*9`                 `21^2`          
450   `225*2` `150*3`   `90*5` `75*6`     `50*9` `45*10`     `30*15`   `18*25` `6*75`              
484   `242*2`   `121*4`             `44*11`             `22^2`          
512   `256*2`   `128*4`       `64*8`           `32*16`         `8^3`   `2^9`    
525     `175*3`   `105*5`   `75*7`           `35*15`   `21*25` `7*75`              
529                                   `23^2`          
576   `288*2` `192*3` `144*4`   `96*6`   `72*8` `64*9`     `48*12`   `36*16`       `24^2`          
600   `300*2` `200*3` `150*4` `120*5` `100*6`   `75*8`   `60*10`   `50*12` `40*15`   `24*25` `8*75`              
625         `125*5`                   `25*25`     `25^2`   `5^4`      
675     `225*3`   `135*5`       `75*9`       `45*15`   `27*25` `9*75`              
676   `338*2`   `169*4`                           `26^2`          
720   `360*2` `240*3` `180*4` `144*5` `120*6`   `90*8` `80*9` `72*10`   `60*12` `48*15` `45*16`                 `6!`
729     `243*3`           `81*9`                 `27^2` `9^3`   `3^6`    
750   `375*2` `250*3`   `150*5` `125*6`       `75*10`     `50*15`   `30*25` `10*75`              
784   `392*2`   `196*4`     `112*7` `98*8`           `49*16`       `28^2`          
825     `275*3`   `165*5`           `75*11`   `55*15`   `33*25` `11*75`              
841                                   `29^2`          
900   `450*2` `300*3` `225*4` `180*5` `150*6`     `100*9` `90*10`   `75*12` `60*15`   `36*25` `12*75`   `30^2`          
961                                   `31^2`          
1000   `500*2`   `250*4` `200*5`     `125*8`   `100*10`         `40*25`       `10^3`        
1024   `512*2`   `256*4`       `128*8`           `64*16`       `32^2`     `4^5`    
1296   `648*2` `432*3` `324*4`   `216*6`   `162*8` `144*9`     `108*12`   `81*16`       `36^2`   `6^4`      
1331                     `121*11`               `11^3`        
1728   `864*2` `576*3` `432*4`   `288*6`   `216*8` `192*9`     `144*12`   `108*16`         `12^3`        
2187     `729*3`           `243*9`                       `3^7`    
2401             `343*7`                     `49^2`   `7^4`      
3125         `625*5`                   `125*25`           `5^5`    
4096   `2048*2`   `1024*4`       `512*8`           `256*16`       `64^2` `16^3` `8^4` `4^6`    
5040   `2520*2` `1680*3` `1260*4` `1008*5` `840*6` `720*7` `630*8` `560*9` `504*10`   `420*12` `336*15` `315*16`                 `7!`
6561     `2187*3`           `729*9`                 `81^2`   `9^4` `3^8`    

Zestawienie 3

    `n^2` `n^3` `n^4` `n^5`   `2^n` `3^n`   `n!` `n!!`   `7k` `11k` `13k` `17k` `19k` `23k` `29k`
4   `2^2`         `2^2`                        
6                   `3!`                  
8     `2^3`       `2^3`       `4!!`                
9   `3^2`           `3^2`                      
15                     `5!!`                
16   `4^2`   `2^4`     `2^4`                        
21                         `7*3`            
24                   `4!`                  
25   `5^2`                                  
27     `3^3`         `3^3`                      
32         `2^5`   `2^5`                        
33                           `11*3`          
35                         `7*5`            
36   `6^2`                                  
39                             `13*3`        
48                     `6!!`                
49   `7^2`                     `7*7`            
51                               `17*3`      
55                           `11*5`          
57                                 `19*3`    
64   `8^2` `4^3`       `2^6`                        
65                             `13*5`        
69                                   `23*3`  
77                         `7*11` `11*7`          
81   `9^2`   `3^4`       `3^4`                      
85                               `17*5`      
87                                     `29*3`
91                         `7*13`   `13*7`        
95                                 `19*5`    
100   `10^2`                                  
105                     `7!!`                
115                                   `23*5`  
119                         `7*17`     `17*7`      
120                   `5!`                  
121   `11^2`                       `11*11`          
125     `5^3`                                
128             `2^7`                        
133                         `7*19`       `19*7`    
143                           `11*13` `13*11`        
144   `12^2`                                  
145                                     `29*5`
161                         `7*23`         `23*7`  
169   `13^2`                         `13*13`        
187                           `11*17`   `17*11`      
196   `14^2`                                  
203                         `7*29`           `29*7`
209                           `11*19`     `19*11`    
216     `6^3`                                
217                         `7*31`            
221                             `13*17` `17*13`      
225   `15^2`                                  
243         `3^5`     `3^5`                      
247                             `13*19`   `19*13`    
253                           `11*23`       `23*11`  
256   `16^2`   `4^4`     `2^8`                        
259                         `7*37`            
287                         `7*41`            
289   `17^2`                           `17*17`      
299                             `13*23`     `23*13`  
301                         `7*43`            
319                           `11*29`         `29*11`
323                               `17*19` `19*17`    
324   `18^2`                                  
329                         `7*47`            
341                           `11*31`          
343     `7^3`                   `7*7*7`            
361   `19^2`                             `19*19`    
371                         `7*53`            
377                             `13*29`       `29*13`
384                     `8!!`                
391                               `17*23`   `23*17`  
400   `20^2`                                  
403                             `13*31`        
407                           `11*37`          
413                         `7*59`            
427                         `7*61`            
437                                 `19*23` `23*19`  
441   `21^2`                                  
451                           `11*41`          
469                         `7*67`            
473                           `11*43`          
481                             `13*37`        
484   `22^2`                                  
493                               `17*29`     `29*17`
497                         `7*71`            
511                         `7*73`            
512     `8^3`       `2^9`                        
517                           `11*47`          
527                               `17*31`      
529   `23^2`                               `23*23`  
533                             `13*41`        
539                         `7*7*11` `11*7*7`          
551                                 `19*29`   `29*19`
553                         `7*79`            
559                             `13*43`        
576   `24^2`                                  
581                         `7*83`            
583                           `11*53`          
589                                 `19*31`    
611                             `13*47`        
623                         `7*89`            
625   `25^2`   `5^4`                              
629                               `17*37`      
637                         `7*7*13`   `13*7*7`        
649                           `11*59`          
667                                   `23*29` `29*23`
671                           `11*61`          
676   `26^2`                                  
679                         `7*97`            
689                             `13*53`        
697                               `17*41`      
703                                 `19*37`    
707                         `7*101`            
713                                   `23*31`  
720                   `6!`                  
721                         `7*103`            
729   `27^2` `9^3`         `3^6`                      
731                               `17*43`      
737                           `11*67`          
749                         `7*107`            
763                         `7*109`            
767                             `13*59`        
779                                 `19*41`    
781                           `11*71`          
784   `28^2`                                  
791                         `7*113`            
793                             `13*61`        
799                               `17*47`      
803                           `11*73`          
817                                 `19*43`    
841   `29^2`                                 `29*29`
847                         `7*11*11` `11*7*11`          
851                                   `23*37`  
869                           `11*79`          
871                             `13*67`        
889                         `7*127`            
893                                 `19*47`    
899                                     `29*31`
900   `30^2`                                  
901                               `17*53`      
913                           `11*83`          
917                         `7*131`            
923                             `13*71`        
931                         `7*7*19`            
943                                   `23*41`  
945                     `9!!`                
949                             `13*73`        
959                         `7*137`            
961   `31^2`                                  
973                         `7*139`            
979                           `11*89`          
989                                   `23*43`  
1000     `10^3`                                
1001                         `7*11*13` `11*7*13` `13*7*11`        
1003                               `17*59`      
1007                                 `19*53`    
1024   `32^2`     `4^5`   `2^10`                        

Część poprzednia Spis treści Część następna